در 1843 ، و . ر . هميلتن ، رياضىدان ايرلندى ، به‌دنبال بعضى تحقيقات فيزيكى ، جبرى اختراع كرد كه در آن عمل ضرب مستقل از ترتيب عوامل نبود ، سال بعد « گراسمان » رياضيدان آلمانى جبرى كلىتر از جبر اختراعى هميلتن عرضه نمود . بدينگونه جبرهاى انتزاعى جديد پايه‌گذارى شد . واقعه ديگر ، رهايى هندسه بود از اصل موضوع اقليدس . به‌دنبال كوششهايى كه رياضيدانها ، كمابيش از زمان اقليدس به‌بعد در اثبات « موضوع اقليدس » به‌عمل آوردند . لوباچفسكى نخستين هندسهء غيراقليدسى را اختراع نمود و با اين اقدام جسورانه ، فكرى را كه قريب دو هزار سال در اذهان جايگزين شده بود درهم شكست . اهميت عمدهء پيدايش جبرهاى غيرعادى و هندسه غيراقليدسى ، در اين نيست كه بر حجم علم رياضى افزود بلكه در آزاد كردن رياضيات از قيد سنن قديم است . از قرن هجدهم به‌بعد رشته‌هاى مختلف رياضيات ، مانند جبر ، هندسه ، مثلثات ، هندسه تحليلى و خلاصه ، حسابهاى ديفرانسيل و انتگرال به سرعت بسط يافت ، بسط حسابهاى اخير كه اختراع آنها از مهمترين اختراعات قرن هفدهم است . مخصوصا به سبب توانايى ، اين حسابها در حل مسائل علمى و عملى گوناگون ، سرعتى فوق العاده داشت ، اما بايد دانست كه وقتى مبانى يك علم درست فهميده نشود همواره اين خطر هست كه انسان اعمالى را به استناد « بداهت » آنها موجه بشمارد و حتى در استدلال دچار خطا بشود ، همين امر در بسط حسابهاى ديفرانسيل و انتگرال اتفاق افتاد و حتى رياضيدانهاى عاليمقام در اعمال روشهاى تحليلى كوركورانه عمل مىكردند . . . . در اواسط قرن نوزدهم توسل به مشهودات و فقدان مبانى محكم براى شاخه‌هاى مختلف رياضيات ، آشفتگى فراوان براى اين عمل فراهم كرد . . . به‌همين جهت تنقيح مبانى آناليز مورد توجه قرار گرفت و به‌تدريج آشكار شد كه پايه‌هايى كه همهء آناليز بر آن استوار است دستگاه اعداد حقيقى است و لهذا بايد به كنه اين دستگاه پى برد . بنابراين « وايرشتراس » برنامه‌اى براى طرح دقيق اين دستگاه و سپس استوار ساختن ساير مفاهيم آناليز ، بر اين دستگاه درنظر گرفت . مكتبى در رياضيات كه اين علم را مبتنى بر شهودى خاص مىداند و از لحاظ روش و فكر رياضى با مكتبهاى كلاسيك فرق فاحش دارد ، مكتب رياضيات شهودى مىخوانند ، به قول پيروان اين مكتب ، قسمت دقيق تفكر انسان است و مسبوق به هيچ علمى نيست ، بلكه برعكس تقرير هر اصلى از فلسفه و منطق مسبوق به مفاهيم رياضى است .